Raakt de dvd-screensaver ooit de hoek?

De screensaver van een dvd-speler is een van die mysteries waar je, zodra je er eenmaal door gegrepen wordt, je gedachten niet meer van af kan houden. Althans, dat gebeurde bij mij, toen ik ooit in een touringcar zeven uur lang hiernaar heb moeten staren:

Meestal gebeurde precies wat je hierboven ziet: het logootje raakt nét niet de hoek. En dat is op een vreemde manier enorm frustrerend, want je wil dat icoontje zo graag die hoek zien raken. Zo graag. Het is lastig uit te leggen wat daar nou precies de charme van zou zijn. Ik denk dat het iets te maken heeft met het aanschouwen van een stukje pure volmaaktheid in het spoor van chaos dat het icoontje achterlaat. Zoiets.

In die zeven uur dat ik naar de screensaver heb gestaard, denk ik dat ik het icoontje op zijn minst één keer in de hoek heb zien gaan. Ik zag het vanuit mijn ooghoeken, dus heel erg zeker weet ik het niet. En als je eenmaal met zo'n vraagstuk zit opgezadeld, wil je natuurlijk ook een antwoord. Je voelt het al aankomen: het is tijd voor een potje huis-tuin-en-keukenwiskunde om dit onbenullige probleem voor eens en voor altijd op te lossen. Daar gaan we dan!

In de wiskunde is al veel rekenwerk besteed aan een probleem dat lijkt op dat van ons. Biljart. Ja, precies, dat spelletje dat je opa misschien in zijn kindertijd heeft gespeeld. En dat nog steeds door voornamelijk hele oude mannetjes wordt gespeeld, hoewel het toch ook wel een beetje een internationale sport is. Afijn, het is typisch een sport waarvan je verwacht dat grijze, besnorde wiskundigen het misschien in hun vrije tijd spelen en er vervolgens hun wiskunde op los laten.

Biljart speel je met drie ballen. Eén van de ballen mag je wegstoten en daarmee moet je de twee andere ballen raken. In sommige gevallen moet je daarvoor via een van de randen spelen en dan is het handig om te weten welke kant die bal opgaat. Als een bal met een hoek van 17 graden tegen de rand rolt, weerkaatst hij ook met een hoek van 17 graden ten opzichte van de rand.

Als je die hoek 45 graden maakt, wordt het pas echt leuk. Omdat het traject van de bal dan steeds rechthoekige, gelijkbenige driehoeken met de tafel maakt, kun je er lekker mee gaan rekenen. Joepie! En in het bijzonder kunnen we dan heel goed voorspellen waar de bal gaat eindigen.

Hierboven zie je biljarttafels van verschillende afmetingen waar een bal vanuit de hoek linksonder wordt weggeschoten met een hoek van 45 graden. Het is dan afhankelijk van de afmetingen van de tafel hoe vaak de bal weerkaatst voordat het precies een hoek raakt. Dat is telkens de som van de lengte en de breedte van de tafel min 2. Maar dit gaat alleen op als de afmetingen van de tafel relatieve priemgetallen zijn; beide getallen mogen samen niet deelbaar zijn door een ander getal dan 1.

Laten we dit toepassen op een televisiebeeldscherm. De pixel nemen we in dit geval als maat voor afstand en als afmetingen van het scherm gaan we uit van 1920 pixels breed en 1080 pixels hoog: de standaardafmetingen van de meeste huidige televisies. Om de formule van hierboven te kunnen gebruiken, moeten we de afmetingen uitdrukken in een verhouding van relatieve priemgetallen. Dan komen we op 16 bij 9. Volgens de formule zouden we een hoek moeten tegenkomen na (16+9)-2=23 keer kaatsen met behulp van een gifje.

We weten nu dat als we een fictief icoontje vanuit de rechter bovenhoek zouden wegschieten, het na 23 keer weerkaatsen weer in een hoek terecht komt.

Maar helaas hebben we dan nog niet een volledig antwoord op onze vraag. Dit scenario gaat uit van een icoontje dat de vorm heeft van precies 1 pixel en dat is in het echt helaas niet zo. In mijn onderzoek naar deze kwestie heb ik verschillende icoontjes van dvd-sceensavers bekeken en ben ik tot de conclusie gekomen dat er geen standaard icoontje bestaat. Dit is meteen mijn eerste advies aan het handjevol fabrikanten dat nog dvd-spelers maakt: maak hier eens afspraken over!

Dus voor iedere dvd-screensaver die er is, heb je een andere berekening nodig, omdat je rekening moet houden met de afmeting van het logo. De som klopt namelijk alleen als je uitgaat van het middelpunt van het stuiterende dvd-dingetje en dat middelpunt kan niet overal op het televisiescherm komen. We hebben dus te maken met een biljarttafel annex televisie die kleiner is dan 1920 bij 1080 pixels, omdat er aan de randen wat ruimte zit die we niet mogen meenemen in de berekening.

Ik ben nu eigenlijk al veel te lang bezig met een probleem dat niet echt een probleem is, dus laten we wat aannames maken en snel naar een oplossing gaan werken. Fanatiek als ik ben, heb ik voor de gelegenheid zelf zo'n dvd-icoontje bedacht. En hij is precies zo irritant als in het echt (oké, misschien toch een pietsie erger dan gewoonlijk).

Als je hierdoor nog geen epilepsieaanval heb gekregen, kunnen we door met het maken van meer aannames. Omdat het even handig is voor deze uitwerking, zeggen we dat het icoontje op onze televisie, van 1920 bij 1080 pixels, 270 pixels hoog en 180 pixels breed is. Omdat we gaan rekenen met het middelpunt van het icoontje, houden we een speelveld van 1650 bij 900 pixels over om op te biljarten. Hieronder een visuele uitleg:

De getallen 1650 en 900 zijn geen relatieve priemgetallen, want ze zijn beide te delen door 150, hun hoogste gemene deler. Laten we dat dan ook maar doen. Als resultaat krijgen we dan respectievelijk 11 en 6. En die getallen zijn wel onderling ondeelbaar, dus we kunnen naar hartelust met onze formule gaan rekenen. De uitkomst daarvan zegt dat onze virtuele dvd-screensaver na (11+6)-2=15 keer stuiteren weer in een hoek komt. Zou het kloppen? PLEASE, LAAT HET KLOPPEN.

Victorie! We hebben een antwoord op ons probleem aan de hand van een screensaver die we helemaal zelf hebben bedacht. En daarom heeft ook helemaal niemand hem.

Op dat punt raken we de grootste zwakte van deze oplossing, maar het maakt hem niet minder waar. Voorbeeldje: stel dat ons icoontje 173 bij 131 pixels is, dan moeten we rekenen met een speelveld van 1749 bij 949 pixels. Die twee getallen zijn al onderlinge priemgetallen, dus volgens de formule zou het icoontje dan 1749+949-2=2696 keer stuiteren totdat het in een hoek komt. En, aan de hand van het experimentje dat we net gedaan hebben, geloof ik dat best. En daarnaast heb ik helemaal geen zin om dat allemaal in photoshop te gaan tekenen.

Terug naar de hamvraag. Kunnen we met zekerheid zeggen dat het icoontje ooit een keer een hoek zal raken? Als het icoontje vanuit een hoek van het scherm vertrekt met een hoek van 45 graden, is het antwoord: ja. De screensavers die ik heb bestudeerd doen dat allemaal, maar er zijn natuurlijk andere mogelijkheden. Zo kan het icoontje ook ergens in het midden van het scherm beginnen, of met een compleet andere hoek. Dan is het nog steeds mogelijk dat het logo in een van de hoeken van het scherm komt, maar het kan ook net zo goed niet gebeuren. Bijvoorbeeld bij een patroon zoals dit:

In de situatie hierboven vertrekt ons icoontje met een hoek van 61 graden vanuit het midden van een van de randen van het scherm. Al naar drie keer stuiteren komt het icoontje terug op de plaats waar het begon en zal het patroon zichzelf eindeloos herhalen. Dit zou overigens wel een heel slechte screensaver zijn, omdat delen van het scherm altijd op zwart blijven staan. Een screensaver is juist bedoeld om alle pixels van het scherm regelmatig van kleur te verwisselen, zodat ze niet inbranden. Dat zouden we bijna vergeten. We zouden ook bijna vergeten dat het inbranden van pixels eigenlijk helemaal geen issue meer is bij moderne televisies.

Toch ben ik opgelucht dat ik een oplossing heb gevonden voor mijn non-probleem van een apparaat dat helemaal niemand meer gebruikt. Tsja, het nut van deze hele exercitie is ver te zoeken, dat moet ik toegeven, maar toch werkt het intens therapeutisch. Het is heel ontspannend om jezelf zo te fixeren op een probleem dat helemaal geen oplossing nodig heeft. Misschien is dit precies wat ons mens maakt. Of misschien heb alleen ik dit. Ik weet in ieder geval wel dat ik er nu klaar mee ben, want de afwas stapelt zich al dagen op.

Mijn oplossing is absoluut niet de enige manier om dit probleem te benaderen. Als jij er nog niet helemaal tevreden mee bent, staat het je natuurlijk vrij om zelf nog wat meer te gaan rekenen. Op de website van Wolfram kun je meer lezen over de wiskunde van het biljart en ze hebben er ook simulaties voor. Op deze blog zijn enkelen bezig geweest met hetzelfde vraagstuk, maar ze hebben net een iets andere benadering gekozen. Succes! En laat het me weten als je wat vindt!