Questi ricercatori hanno scoperto un pattern nella distribuzione dei numeri primi

Il pattern è incredibilmente simile a quello della distribuzione degli atomi nei cristalli.

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17 settembre 2018, 9:09am

Immagine: Shutterstock

I numeri primi, spesso conosciuti come "i mattoni fondanti della matematica", hanno affascinato i matematici per secoli per l'imprevedibilità della loro distribuzione e per la loro natura apparentemente casuale. Ciononostante, un team di ricercatori della Princeton University ha recentemente scoperto uno strano pattern nel caos dei numeri primi. Le loro nuove tecniche di modellamento hanno rivelato delle similitudini sorprendenti tra i numeri primi e alcuni pattern che si presentano naturalmente nei materiali cristallini. Questa similitudine potrebbe avere delle implicazioni significative per la fisica e la scienza dei materiali.

Cosa sono i numeri primi?

I numeri primi sono numeri interi che possono essere divisi soltanto per sé stessi o per 1, e appaiono sulla linea dei numeri in maniera piuttosto casuale.

Cominciano con 2, 3, 7, 11 e continuano ad apparire a ritmo intermittente tendendo all'infinito. Ciononostante, più si va avanti nella linea dei numeri, più casuale sembra la distribuzione dei numeri stessi. La mancanza di un pattern chiaro era stata riassunta al meglio dal matematico inglese R.C. Vaughan: "È chiaro che i numeri primi sono distribuiti casualmente ma, sfortunatamente non sappiamo cosa significhi 'casualmente.'"

Questo disordine non si è rivelato inutile. Alcuni dei più importanti tipi di crittografia moderna sono basati sull'estrema imprevedibilità dei numeri primi molto grandi. Per esempio, l'algoritmo di crittografia RSA si basa sulla premessa che sia facile recuperare due numeri primi molto grandi e moltiplicarli, ma allo stesso tempo sia estremamente difficile prendere un numero primo molto grande e capire quali primi siano stati moltiplicati per ottenere quel numero primo (le specifiche del funzionamento di questo meccanismo sono spiegate qui).

I numeri primi, però, sono responsabili di un grande numero di problemi irrisolti nella matematica — come la temuta Ipotesi di Reimann — e rimangono tra le questioni più complesse nel campo sin da quando erano state documentate per la prima volta dagli antichi Greci.

Parola d'ordine: produttività

I chimici e i fisici tipicamente studiano la struttura di un materiale sparando addosso ad un campione dei raggi X e osservando come i raggi vengono rifratti passando tra gli atomi all'interno di esso. Questo processo è noto come diffrazione a raggi X, ed è un processo in cui diversi materiali producono pattern diversi sulla base di quanto simmetrica sia la distribuzione dei loro atomi.

Immagine: Theoretical Chemistry Group

Un liquido, i cui atomi si muovono costantemente, rifrangerà i raggi X da ogni parte e non creerà un pattern preciso, mentre la struttura rigida degli atomi di un cristallo — come nel sale o in un diamante — li rifrangerà in una maniera più ordinata a causa della sua struttura interna ripetitiva. Inoltre, alcuni materiali rari conosciuti come quasi-cristalli creano dei pattern di rifrazione simili senza che siano composti da una struttura atomica ripetitiva. Sia nei cristalli che nei quasi-cristalli, i raggi X normalmente formano un pattern di zone più luminose periodiche conosciute come "picchi di Bragg" mentre i raggi interferiscono costruttivamente l'uno con l'altro a intervalli definiti.

L'anno scorso, il chimico teorico e professore di Princeton Salvatore Torquato ha avuto un'illuminazione — e se i numeri primi fossero modellati come particelle simili ad atomi? Mostrerebbero dei pattern a loro volta?

Insieme ai suoi studenti Ge Zhang e al teorico dei numeri Matthew de-Courcy-Ireland, Torquato ha rappresentato in forma computerizzata i numeri primi come stringhe mono-dimensionali di atomi e ha fatto rifrangere la luce su di loro. Il risultato, pubblicato nel Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, la scorsa settimana, è sorprendente: non solo hanno creato dei pattern di interferenza simili a quelli dei quasi-cristalli, ma quello che è stato rivelato è un pattern frattale che non si era mai visto prima d'ora. Torquato ha detto a Quanta Magazine che questa scoperta implica che i numeri primi siano "una categoria completamente nuova di strutture" quando vengono considerati come dei sistemi fisici.

Curiosamente, questo pattern frattale si manifesta su porzioni piuttosto lunghe della linea dei numeri — quando vengono analizzati frammenti più breve, il pattern non si vede. Nota come "iperuniformità", questa rara proprietà è tale soltanto di alcuni materiali e di sistemi che la dimostrano in natura, come la distribuzione delle cellule coniche per il rilevamento dei colori negli occhi degli uccelli, alcune emulsioni, nei quasi-cristali, nella struttura su larga scala dell'universo e, come si è visto, nei numeri primi.

Anche se le scoperte del team non sono rivoluzionarie per la teoria dei numeri, potrebbero rilevarsi utili in un nuova area di ricerca conosciuta come "ordine aperiodico" — lo studio dei pattern non-ripetuti.

Rifrazione a raggi X di un singolo cristallo di sodio.

Gran parte dell'eccitazione attorno a questo paper emerge dall'intersezione quantomeno unica tra i reami della matematica più fisici e quelli più teorici. Henry Cohn, uno dei principali ricercatori di Microsoft Research e che non è stato coinvolto nello studio, ha detto a Princeton che "si tratta di una nuova e bellissima prospettiva su questa informazione, e aprea a nuove connessioni con la scienza dei materiali e con la teoria della rifrazione."

Inoltre, il paper afferma di aver prodotto un algoritmo che "permette a chiunque di predire i numeri primi con altissima precisione." Anche se l'utilità di uno strumento del genere è ancora da verificare, segna un altro passo verso la risoluzione dell'enigma dei numeri primi.

Questo articolo è apparso originariamente su Motherboard US.