Un matematico potrebbe avere risolto un problema da 1 milione di dollari

Anche se le sue prove non sono mai state pubblicate, non è la prima volta che Michael Atiyah afferma di aver risolto un problema matematico complessissimo

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25 settembre 2018, 11:43am

Atiyah durante il suo intervento all'Heidelberg Laureate Forum il 24 September 24, 2018. Immagine: YouTube

Un famoso matematico ha affermato di aver sviluppato una prova per l'ipotesi di Riemann, un problema matematico che risale a 160 anni fa, la cui risoluzione verrebbe premiata con una ricompensa da 1 milione di dollari.

Michael Atiyah, un matematico che ha vinto diversi importanti premi nel campo della matematica, ha tenuto una conferenza all'Heidelberg Laureate Forum in Germania per spiegare la sua prova dell'ipotesi di Riemann. La teoria è stata postulata da Bernhard Riemann nel 1859 e riguarda quali numeri restituiscono il valore zero quando vengono usati come argomento per una funzione particolare — ma nessuno è ancora riuscito a dimostrarla.

Come ha sottolineato Atiyah durante il suo intervento, l'ipotesi di Riemann ”è stata verificata numericamente per milioni e milioni di valori con tutti i computer che potete immaginare, ma manca la sua prova definitiva.” Tuttavia, l'ipotesi ha un enorme valore pratico per i matematici, che l'hanno utilizzata per spiegare la strana distribuzione dei numeri primi.

Se la prova di Atiyah dovesse rivelarsi corretta, sarebbe un grosso problema per la comunità matematica — negli ultimi 160 anni fornire una prova all'ipotesi di Riemann è diventato uno dei problemi più pressanti nella matematica. Dal 2000 il Clay Mathematics Institute ha offerto un premio di 1 milione di dollari al matematico che riesce a pubblicare i suoi risultati su un journal sottoposto a una peer-review di due anni. Anche se Atiyah ha dimostrato la sua prova lunedì, la sua dimostrazione non è stata ancora approvata per essere pubblicata su un journal sottoposto a peer-review.

”L'ipotesi di Riemann è stata provata, a meno che non accettiate le prove per contraddizione,” ha detto Atiyah durante la sua conferenza di Heidelberg. ”In quel caso, dovrei rifare tutto da capo. Ma di solito le prova per contraddizione vengono accettate, quindi, ritengo di meritarmi il premio.”

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Tuttavia, molti matematici hanno espresso riserve circa la legittimità della soluzione, dato che Atiyah aveva già dichiarato in precedenza di avere fornito prove per i principali problemi di matematica, solo che le sue soluzioni non passavano gli esami di verifica degli altri esperti o non sono mai state pubblicate.

Se le prove di Atiyah non dovessero rivelarsi fondate, non sarebbe il primo matematico ad aver affermato di aver dimostrato l'ipotesi di Riemann senza riuscirci. Nel 2015, lo sconosciuto professore nigeriano Opeyemi Enoch aveva dichiarato di aver fornito una prova per l'ipotesi di Riemann, ma l'intera faccenda si è rivelata una farsa. A differenza di Enoch, Atiyah ha vinto sia la Fields Medal che l'Abel Prize — fondamentalmente i Nobel per i matematici.

Come mi ha spiegato via mail Markus Pössel, un astronomo tedesco che era presente alla conferenza di Atiyah, è troppo presto per giudicare se la sua prova sia legittima.

”Gli specialisti in questo campo non hanno ancora informazioni sufficienti per giudicare correttamente,” ha detto Pössel. ”In particolare, Atiyah ha fatto uso di una funzione che ha chiamato la 'funzione Todd' dal nome di uno dei suoi insegnanti. Non mi è chiaro se quella funzione esista realmente nella forma rivendicata da Atiyah. Di sicuro è ragionevole dichiararsi cauti su questo punto.”

COS'È L'IPOTESI DI RIEMANN?

Nel 1859, il matematico Bernhard Riemann ha formulato un'ipotesi su quando una particolare funzione restituisce un valore pari a zero. La sua teoria ha diverse applicazioni pratiche nel campo della matematica, inclusa quella di spiegare la strana distribuzione dei numeri primi all'interno dell'insieme dei numeri naturali. I numeri primi sono i numeri divisibili solo per sé stessi e uno.

L'ipotesi di Riemann riguarda i valori della cosiddetta funzione zeta, che produce una serie di numeri convergente (cioè tale che il limite delle sue somme parziali è finito e tende a zero) o divergente a seconda del valore di s — l'argomento della funzione:

La funzione z di Riemann. Immagine: Wikimedia Commons

L'intuizione di Riemann era che la funzione zeta può essere estesa anche ai numeri complessi, che sono una combinazione di numeri immaginari e numeri reali. (Giusto per rinfrescarvi la memoria: i numeri complessi sono formati da una parte reale e una parte immaginaria. I numeri immaginari, invece, permettono di estendere il campo dei numeri reali. Essendo impossibile calcolare la radice quadrata di un numero negativo perché non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato restituisca un risultato negativo, i numeri immaginari sopperiscono a questa mancanza rappresentando dei numeri il cui quadrato è un valore negativo che viene indicato come i. Così, per esempio, 3 + 5 i è un numero complesso.)

Come spiegato da Edward Frenkel in un video per Numberphile, usando come argomento nella funzione zeta un numero reale come "2", si ottiene la serie ”1+ ¼ + 1/9 + 1/16...” Quanti più numeri vengono scoperti e sommati in questa sequenza, tanto più questi si avvicinano a una somma totale chiamata limite. Se la serie si avvicina ad un limite, allora viene considerata una serie convergente.

Invece, usando un numero come "-1" come argomento per la funzione zeta, si ottiene una serie come "1+2+3+4+5....". Questo tipo di serie non ha limiti perché la somma dei numeri continua ad aumentare e viene chiamata serie divergente.

Riemann ha sostenuto che usando un numero complesso come argomento per la funzione zeta, il risultato è una serie convergente che restituisce un valore pari a zero.

Alcuni di questi input sono molto facili da individuare. Per esempio, -2, -4 e -6 restituiranno tutti zero. Ma Riemann ha ipotizzato che usando ½ come numero reale per l'argomento complesso di una funzione zeta, qualsiasi numero immaginario a cui sarebbe stato accoppiato avrebbe restituito anch'esso zero. Così 1 i, ½ + 2 i, ½ + 3 i, e così via, restituirebbero tutti zero come risultato.

”Per quali valori la funzione zeta restituisce zero?” si chiede Frenkel nel video di Numberphile. ”Questa è la domanda da un milione di dollari.”

La prova fornita da Atiyah afferma di rispondere a questa domanda basandosi su quella che ha chiamato la ”funzione di Todd,” dal nome del matematico ed ex insegnante di Atiyah J.A. Todd. Come ha sottolineato Pössel, questa funzione è stata accolta con scetticismo da molti matematici.

Se la pretesa di Atiyah di vincere il premio da 1 milione di dollari per aver risolto uno dei problemi del millennio, come sono stati ribattezzati dal Clay Mathematics Institute i sette problemi matematici più complessi, allora la funzione di Todd dovrà essere sottoposta allo scrutinio rigoroso di altri matematici nei prossimi due anni.

Finora è stato risolto solo uno dei sette problemi del millennio, anche se sono state proposte decine di soluzioni ai vari problemi della lista. Questo la dice lunga sul grado di difficoltà dei problemi in questione e anche dell'importanza della peer review in matematica. Anche se la prova fornita da Atiyah alla fine non dovesse raggiungere il suo obiettivo, la sua soluzione sarà sicuramente presa in considerazione da alcuni dei matematici più brillanti del mondo per i prossimi anni.

Questo articolo è apparso originariamente su Motherboard US.