Conigli come se piovesse: la sequenza di Fibonacci

Cominciate con i conigli.

Ce ne sono due, un maschio e una femmina. Si mettono a fare cose da conigli, e presto ci sono altri due conigli, un altro maschio e un'altra femmina. Due conigli adulti, due cuccioli. I cuccioli crescono, e si arriva a quattro conigli adulti. Poi, il primo paio, i due conigli originali, fa altri due conigli, un altro maschio e un'altra femmina. Quattro conigli adulti, due cuccioli. I due cuccioli crescono, portando il conto a sei conigli adulti. Il secondo e il terzo paio di conigli fanno ognuno una nuova coppia di cuccioli. Sei conigli adulti, quattro cuccioli. In poco tempo, ci sono un sacco, un sacco di conigli.

Era il problema originale preso in considerazione dal grande matematico del Medioevo Leonardo Fibonacci. Dati due conigli adulti, quanti conigli possiamo immaginare che saranno prodotti in un anno di tempo, ipotizzando per assurdo che ogni coppia di conigli produca una coppia identica (un altro maschio e un'altra femmina).

Il risultato sembra banale: il numero totale di conigli in una data iterazione è il numero di conigli adulti e cuccioli delle iterazioni precedenti combinate. Dunque 2-0, 2-2, 4-2, 6-4, 10-6, 14-10 …

In altre parole, il numero di conigli adulti in una data iterazione è il numero di conigli adulti nella iterazione precedenti più il numero di conigli adulti nell'iterazione prima ancora. Eccola in forma matematica, la formula ricorsiva della sequenza di Fibonacci:

Questa è probabilmente la relazione di ricorrenza più famosa nella matematica (e nell'informatica). È insegnata senza sosta, e per un buon motivo.

Dunque, tornando ai nostri conigli, se consideriamo ogni paio come un'unità singola, otteniamo questi famosi numeri:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …

È quasi troppo semplice, ma come molte idee matematiche semplici ed eleganti, si dimostra essere una descrizione molto potente di cose reali, legate alla natura. In particolare, offre una formula idealizzata che combacia con molti tipi di crescita osservabili nel mondo, e pare ragionevole: una certa cosa è il prodotto (o la somma, in realtà) delle sue forme precedenti. Io sono il risultato del mio passato, così come voi siete il risultato del vostro.

Se non per i conigli IRL, la sequenza funziona molto bene per le api. La riproduzione è un po' stramba in una colonia di api, dove c'è una sola regina delle api madre single e i maschi sono prodotti da uova non fertilizzate. Il che significa che le api maschio hanno solo una madre e non un padre. Mentre le api femmine sono il risultato dell'accoppiamento tra la regina e un tizio-ape.

Rod Knott, un informatico alla University of Surrey, offre un'intero labirinto web dedicato alla sequenza e spiega lo strano albero genealogico del fuco in questo modo:

Ha un genitore, una femmina.

Ha due nonni, poiché sua madre aveva due genitori, un maschio e una femmina.

Ha tre bisnonni: sua nonna aveva due genitori, ma suo nonno uno solo.

Ora possiamo chiedere, quanti trisnonni ha? Sappiamo già la risposta. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … Il nostro albero genealogico a due genitori, nel frattempo, è solo un due moltiplicato un certo numero di volte, che produce lo schema più ampio 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …

C'è un'altra caratteristica nella sequenza di Fibonacci che gli conferisce uno strano (ma non esattamente inaspettato) twist. Prendete un numero della sequenza e dividetelo per il numero precedente, e continuate a farlo mentre andate avanti sulla linea. Dunque, abbiamo 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5 … e se riportiamo su un grafico quei valori, quello che otteniamo è niente di meno che la Sezione Aurea, poiché il valore delle frazioni di Fibonacci si avvicina a 1.68 033988749894848204586834 …, ma non si ferma mai del tutto, aggiungendo cifre all'infinito.

La connessione è chiara nelle spirali-eterne dei rettangoli di Fibonacci e nella loro controparte nel mondo della natura, come ammoniti e segmenti delle pigne.

Potete vederlo anche nelle piante, prendete l'Achillea, un esempio di pianta che produce i nuovi getti di crescita secondo il pattern di Fibonacci.

La cosa va avanti, dalla sistemazione dei semi nei girasoli al numero di petali su una vasta gamma di fiori, al numero di foglie trovate su una data pianta "ad ogni giro". Si cela ovunque, ma non c'è da sorprendersi.

Non c'è niente di mistico nella sequenza di Fibonacci e nella natura, dopo tutto. È solo una questione di efficienza. È il modo migliore per far entrare il più grande numero di oggetti diversi in uno spazio dato. Come spiega Knott, il modo migliore per sistemare oggetti insieme è usare la sistemazione a esagono qui sotto, ma funziona solo per oggetti che non cambiano dimensioni. Se ingrandissi i cerchi, vedresti molto spazio sprecato.

Le piante crescono, è nella loro natura. E sembra che per la crescita delle cose la sequenza di Fibonacci sia lo schema di impacchettamento più efficacie. La ragione ha a che fare con l'irrazionalità della sezione aurea (e dunque l'irrazionalità della sequenza).

E per irrazionale, quello che intendiamo è che il numero non può essere espresso come la frazione di due numeri interi, come ½ o ⅓ e via dicendo. Possiamo continuare a tagliare a fette la cosa per sempre, ma non troveremo mai una fetta tanto sottile da poter dire che abbiamo tante fette di una misura da questa parte e, usando la stessa fetta, dire che abbiamo un certo altro numero di fette da quest'altra parte. Questa frazione non esiste.

La cosa è fantastica se sei una pianta che cerca di sfruttare al massimo l'esposizione alla luce del sole. Ogni volta che tu, pianta, fai crescere una nuova foglia, questa sarà posizionata alcune frazioni di giro dalla foglia sottostante. Immaginate che una foglia già esistente punti a ore 12. Dove, in quanto pianta, vorresti che crescesse la prossima foglia? Se scegliessi, diciamo, di metterla a mezzo giro (a ore 6) dalla foglia esistente, e continuassi così, finiresti con una scala a chiocciola di foglie, che sarebbe alla fine un gran spreco di spazio. La stessa cosa accadrebbe con qualsiasi numero razionale di giri.

Per ⅗, ottieni la distribuzione di semi che vedete a sinistra qui sotto, che non è proprio efficiente. L'immagine affianco funziona meglio poiché è irrazionale, ma è un numero irrazionale approssimato alla frazione 22/7, che è razionale.

Dunque, la natura si è stabilita sulla Sezione Aurea e la sequenza di Fibonacci che ne rappresenta il problema di sfruttamento massimo dello spazio. Quello che funziona in natura persiste, e non solo la Sezione Aurea è un numero irrazionale, ma è il più irrazionale di tutti, con le approssimazioni più deboli possibili. Una tecnologia del mondo naturale, se volete.