Mathematiker finden völlig überraschend Muster in Primzahlen

Bisher dachte man, seien Primzahlen zufällig verteilt und tauchen in unregelmäßigen Abständen auf. Die kürzliche Entdeckung eines Musters könnte sich als bahnbrechend für die Kryptografie erweisen.

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März 16 2016, 10:01am

Bild: Shutterstock

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Primzahlen sind noch immer eine der großen Herausforderungen der Mathematik. Zwar lernt jeder Schüler, dass Primzahlen Ganze Zahlen sind, die nur durch sich selbst oder durch 1 teilbar sind. Auch, dass jede größere Zahl als 1, die wir kennen, aus einer oder mehreren Primzahlen besteht, wissen viele noch.

Doch nach welchen Regeln Primzahlen in der Masse der natürlichen Zahlen auftauchen, ist der Mathematik noch immer ein Rätsel. Bisher dachte man, Primzahlen kämen völlig zufällig verteilt in der Natur vor und erschienen in unregelmäßigen Abständen in der Zahlenfolge.

Pünktlich zum Pi-Tag haben zwei Mathematiker nun die Ergebnisse einer Studie vorgestellt, die diese fundamentale Annahme über den Haufen wirft und auch die Forscher selbst überrascht hat. „Es ist sehr seltsam", sagte der Co-Autor Kannan Soundararajan dem New Scientist. „Wie ein Gemälde, das man kennt und in dem man plötzlich neue Muster entdeckt."

Die Entdeckung könnte nicht zuletzt die Grundlagen heutiger Verschlüsselungstechniken verschieben, da kryptographische Verfahren wesentlich auf der Willkürlichkeit von Primzahlen basieren.

Eine der Grundregeln im Primzahlen-Game lautet wie folgt: Die letzten Ziffern jeder Primzahl (die einzigen Ausnahmen bilden die Zahlen 2 und 5) sind entweder 1, 3, 7 oder 9 mit jeweils gleich verteilter Wahrscheinlichkeit. Die beiden Autoren fanden aber nun heraus, dass Zahlen, die auf 1 endeten, weniger häufig von einer Primzahl gefolgt wurden, die ebenfalls auf 1 endete. Oder anders formuliert: Primzahlen enden viel seltener auf die gleiche Endstelle der vorangehenden als auf andere Endziffern.

Damit hatte niemand gerechnet—denn wären die Endungen tatsächlich willkürlich verteilt, dürften die benachbarten Primzahlen logischerweise eigentlich keinem Muster folgen.

„Ich musste es mit eigenen Augen sehen, um das wirklich zu glauben"

Doch die Ergebnisse von Soundararajan und Lemke Oliver sprechen eine andere Sprache: Bei der Untersuchung der ersten 100 Millionen Primzahlen kristallisierte sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit einer 1 am Ende einer Primzahl und einer weiteren 1 am Ende der darauffolgenden Primzahl bei nur 18 Prozent liegt. Die Wahrscheinlichkeit einer 9 und einer weiteren 9 als Endziffer der nächsten Primzahl liegt bei 22 Prozent, bei 7 gefolgt von 7 und 3 gefolgt von 3 liegt die Wahrscheinlichkeit jeweils bei 30 Prozent.

Sollte sich das Muster auch bei größeren Zahlen bewahrheiten, wäre das bahnbrechend—auch für die Kryptographie. Denn bei der Decodierung komplizierter Verschlüsselungen werden riesige Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegt. Je länger die Zahl, desto länger dauert das. Doch wenn man das Auftauchen von Primzahlen vorhersagen könnte, wäre das kein Problem mehr und Computer müssten sich nicht mehr jahrelang einen Wolf rechnen. Gleichzeitig würde das bedeuten, dass unsere bisher benutzten Verschlüsselungstechniken bedeutend angepasst werden müssten.

Die praktische Anwendung von Primzahlen: Verschlüsselung in der Ionenfalle—Der Quantenrechner von morgen ist da

Querfeldein bezeugen Mathematikprofessoren ihre Verblüffung über die Entdeckung. „Ich war sehr überrascht", gab James Maynard von der Unversität Oxford zu, der laut dem New Scientist sofort seine eigenen Berechnungen durchführte, um das Muster zu testen. „Ich musste es irgendwie mit eigenen Augen sehen, um das wirklich zu glauben."

Ein Weg, das Muster von Soundararajan und Lemke Oliver zu bestätigen, ist das sogannte Primzahltupel. Diese Systematik der beiden Primzahlenforscher Hardy und Littlewood aus dem frühen 20. Jahrhundert soll abschätzen können, wie oft Paare, Tripel und größere Primzahlen-Cluster auftauchen—und obwohl das Primzahltupel noch nicht abschließend bewiesen ist, funktioniert es bislang wunderbar.

Mathematiker versuchen schon lange die Gesetzmäßigkeiten hinter dem Auftreten von Primzahlen zu ergründen. Im 18. Jahrhundert fand der bedeutende Mathematiker Carl Friedrich Gauß immerhin heraus, dass Primzahlen seltener werden, je größer die Zahl ist. Man kennt mittlerweile ein paar Trillionen Primzahlen—doch wahrscheinlich noch lange nicht alle. Das legt zumindest die Riemann-Vermutung nahe, und für den, der sie beweist, gibt es eine Million Dollar Preisgeld. Nicht wenige haben das vergeblich versucht, und noch immer werden neue Primzahlen entdeckt:

Erst im Januar errechnete ein Computer in Missouri nach einem Monat Arbeit eine neue Redkordprimzahl: 274,207,281-1, eine Zahl mit unglaublichen 22,3 Millionen Stellen. Echte Liebhaber können sie sich bis zur nächsten Entdeckung sogar für's Heimstudium als Archiv herunterladen.